Пространство непрерывных функций
Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} функции (обычно обозначается C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} , иногда C 0 [ a , b ] {displaystyle C^{0}[a,b]} или C ( 0 ) [ a , b ] {displaystyle C^{(0)}[a,b]} или C ( a , b ) {displaystyle C(a,b)} ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
| | x | | C [ a , b ] = max t ∈ [ a , b ] | x ( t ) | {displaystyle ||x||_{{mathbf {C} }[a,b]}=max _{tin [a,b]}|x(t)|}Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.
Свойства
- Если последовательность x n {displaystyle x_{n}} элементов из C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции x ( t ) {displaystyle x(t)} , то x n ⇉ x {displaystyle x_{n}
ightrightarrows x} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .
- Отсюда: C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} — банахово пространство.
- Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
- В C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.
Вариации и обобщения
Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.
Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) C ( X , Y ) {displaystyle C(X,Y)} называется множество всех непрерывных ограниченных функций x : X → Y {displaystyle x:X o Y} со введённой на нём нормой:
‖ x ‖ C ( X , Y ) = sup t ∈ X ‖ x ( t ) ‖ Y . {displaystyle |x|_{C(X,Y)}=sup _{tin X}|x(t)|_{Y}.}Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:
‖ x ‖ = ∫ a b | x ( t ) | d t {displaystyle |x|=int limits _{a}^{b}|x(t)|,dt}В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность x n {displaystyle x_{n}}
x n ( t ) = { 1 , t ⩾ 1 n n t , t ∈ ( − 1 n , 1 n ) − 1 , t ⩽ − 1 n {displaystyle x_{n}(t)={egin{cases}1,quad tgeqslant {frac {1}{n}}nt,quad tin (-{frac {1}{n}},{frac {1}{n}})-1,quad tleqslant -{frac {1}{n}}end{cases}}}Его пополнение есть L 1 [ a , b ] {displaystyle L_{1}[a,b]} — пространство суммируемых функций.